Как понять пределы в математике

Как понять пределы в математике

  • Попробуйте решить указанные ниже задачи на вычисление пределов и смежные вопросы.
  • Нажмите на изображение или стрелку, чтобы попасть на страницу с подробным решением.

Определение предела последовательности

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . . ,
после чего найти ее предел.
Решение >>>

Определение предела функции

Непрерывность функции

Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x . Решение >>>
Используя определение непрерывности по Коши доказать, что функция непрерывна для всех . Решение >>>

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
. Решение >>>

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
. Решение >>>

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
. Решение >>>

Докажите, что уравнение , где n – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n . Решение >>>

Вычисление пределов

Найти, если существует, предел функции:
. Решение >>>

Найти односторонние пределы сложной функции в точке :
и . Решение >>>

Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
>>>
Вычислить пределы, используя разложение функций в ряд Тейлора.
>>> >>> >>> >>>

Найти пределы, используя правило Лопиталя.
>>> >>> >>> >>> >>> >>>

Найти пределы, применяя эквивалентные функции.
>>> >>> >>> >>>

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-05-2019 Изменено: 09-02-2020

Понятие пределов рассмотрим на показательных примерах.

Пусть х – числовая переменная величина, Х – область ее изменения. Если каждому числу х, принадлежащему Х, поставлено в соответствие некоторое число у, то говорят, что на множестве Х определена функция, и записывают у = f(x).
Множество Х в данном случае – плоскость, состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Для примера изобразим функцию у = х 2 . Оси 0X и 0Y образуют Х – область ее изменения. На рисунке прекрасно видно, как ведет себя функция. В таком случае говорят, что на множестве Х определена функция у = х 2 .

Читайте также:  Как разобрать ps3 fat

Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений f(x). Другими словами, множество значений – это промежуток по оси 0Y, где определена функция. Изображенная парабола явно показывает, что f(x) > 0 , т.к. x2 > 0. Поэтому область значений будет [0; +]. Множество значений смотрим по 0Y.

Совокупность всех х называется областью определения f(x). Множество определений смотрим по 0X и в нашем случае областью допустимых значений является [-; +].

Точка а (а принадлежит или Х) называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х, отличные от а.

Пришла пора понять – что же такое предел функции?

Чисто b, к которому стремится функция при стремлении х к числу а, называется пределом функции. Записывается это следующим образом:

Например, f(x) = х 2 . Нам надо узнать, к чему стремится (не равна) функция при х 2. Сначала запишем предел:

Посмотрим на график.

Проведем параллельно оси 0Y линию через точку 2 на оси 0X. Она пересечет наш график в точке (2;4). Опустим из этой точки на ось 0Y перпендикуляр – и попадем в точку 4. Вот к чему стремится наша функция при х 2. Если теперь подставить в функцию f(x) значение 2, то ответ будет таким же.

Теперь прежде чем перейти к вычислению пределов, введем базовые определения.

Понятие пределов введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке.

Допустим, функция f(x) определена на некотором интервале, в котором содержится точка x = A, однако совсем не обязательно, чтобы значение f(А) было определено.

Тогда, согласно определению Коши, пределом функции f(x) будет некое число B при x, стремящимся к А, если для каждого C > 0 найдется число D > 0, при котором 0 найдется такое число N, при котором все значения в случае n > N удовлетворяют неравенству

Читайте также:  Дайте характеристику локальной сети

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Вычисление пределов — это то, что отнимает у меня достаточно много сил. Никак не могу до конца понять, как же пользоваться правилами вычисления пределов. Все-таки математика — непростая наука(((

Подскажите на каком курсе изучают понятие пределов? В школе я такого не помню, а в институте пока такого еще не было. Я что-то пропустила?

В школе этого не было.не знаю как у других а у нас на экономике на первом курсе сразу начали.это очень тяжело

Если понимать все значения Х и уметь составлять еще их таблицы, чтобы были видны к чему именно идем и для чего рисуется неровная кривая. Назову ее так. Хотя в школе было всегда мне интересно определить где именно линия должна идти вверх и в какой части график опускается.

Как найти предельную точку? Получается, что нужно найти предел и как говорится его понять. Может ли быть их несколько штук? Интересно знать все эти тонкости, чтобы было все предельно ясно.

Вычисление пределов в принципе дело не сложное, просто требует максимальной усидчивости и сосредоточенности, чего нам так обычно не хватает.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x, и которая сходится к точке x (lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x, но которая не содержит x как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Читайте также:  Гитарный рифф что это

Ответ

Необходимо рассчитать предел

Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2x — 3:

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Решение пределов функции — это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

  1. Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
  2. Если х стремится не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть . Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо — бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля — бесконечно малое — например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
  3. Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо . Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Ссылка на основную публикацию
Как поменять вид диспетчера задач
А вот вопрос.почему каждый раз когда я выключаю компьютер а на следующий день включаю появляется надпись некорректное выключение. 30-04-2013 в...
Как перевести с одной карты на другую
Перевести деньги с одной карты Сбербанка на другую можно легко, достаточно знать номер только номер карты или номер мобильного телефона...
Как перевести рубли в тысячи в excel
Отображение в MS EXCEL ЧИСЕЛ в формате миллионов и тысяч ​Смотрите также​ 1000, выделяете диапозон​ рублях в тысячи​В1 - Стоимость​#...
Как поменять билеты ржд купленные через интернет
В жизни всегда есть место непредвиденным обстоятельствам. Если срочно потребовалось обменять или вернуть заранее приобретенный билет на более подходящий, это...

Как понять пределы в математике

  • Попробуйте решить указанные ниже задачи на вычисление пределов и смежные вопросы.
  • Нажмите на изображение или стрелку, чтобы попасть на страницу с подробным решением.

Определение предела последовательности

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . . ,
после чего найти ее предел.
Решение >>>

Определение предела функции

Непрерывность функции

Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x . Решение >>>
Используя определение непрерывности по Коши доказать, что функция непрерывна для всех . Решение >>>

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
. Решение >>>

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
. Решение >>>

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
. Решение >>>

Докажите, что уравнение , где n – натуральное, – действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n . Решение >>>

Вычисление пределов

Найти, если существует, предел функции:
. Решение >>>

Найти односторонние пределы сложной функции в точке :
и . Решение >>>

Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
>>>
Вычислить пределы, используя разложение функций в ряд Тейлора.
>>> >>> >>> >>>

Найти пределы, используя правило Лопиталя.
>>> >>> >>> >>> >>> >>>

Найти пределы, применяя эквивалентные функции.
>>> >>> >>> >>>

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-05-2019 Изменено: 09-02-2020

Понятие пределов рассмотрим на показательных примерах.

Пусть х – числовая переменная величина, Х – область ее изменения. Если каждому числу х, принадлежащему Х, поставлено в соответствие некоторое число у, то говорят, что на множестве Х определена функция, и записывают у = f(x).
Множество Х в данном случае – плоскость, состоящая из двух координатных осей – 0X и 0Y. Для примера изобразим функцию у = х 2 . Оси 0X и 0Y образуют Х – область ее изменения. На рисунке прекрасно видно, как ведет себя функция. В таком случае говорят, что на множестве Х определена функция у = х 2 .

Читайте также:  Как добавить номер в вайбере на телефоне

Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений f(x). Другими словами, множество значений – это промежуток по оси 0Y, где определена функция. Изображенная парабола явно показывает, что f(x) > 0 , т.к. x2 > 0. Поэтому область значений будет [0; +]. Множество значений смотрим по 0Y.

Совокупность всех х называется областью определения f(x). Множество определений смотрим по 0X и в нашем случае областью допустимых значений является [-; +].

Точка а (а принадлежит или Х) называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а имеются точки множества Х, отличные от а.

Пришла пора понять – что же такое предел функции?

Чисто b, к которому стремится функция при стремлении х к числу а, называется пределом функции. Записывается это следующим образом:

Например, f(x) = х 2 . Нам надо узнать, к чему стремится (не равна) функция при х 2. Сначала запишем предел:

Посмотрим на график.

Проведем параллельно оси 0Y линию через точку 2 на оси 0X. Она пересечет наш график в точке (2;4). Опустим из этой точки на ось 0Y перпендикуляр – и попадем в точку 4. Вот к чему стремится наша функция при х 2. Если теперь подставить в функцию f(x) значение 2, то ответ будет таким же.

Теперь прежде чем перейти к вычислению пределов, введем базовые определения.

Понятие пределов введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке.

Допустим, функция f(x) определена на некотором интервале, в котором содержится точка x = A, однако совсем не обязательно, чтобы значение f(А) было определено.

Тогда, согласно определению Коши, пределом функции f(x) будет некое число B при x, стремящимся к А, если для каждого C > 0 найдется число D > 0, при котором 0 найдется такое число N, при котором все значения в случае n > N удовлетворяют неравенству

Читайте также:  Как добавить часы на главный экран андроид

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Вычисление пределов — это то, что отнимает у меня достаточно много сил. Никак не могу до конца понять, как же пользоваться правилами вычисления пределов. Все-таки математика — непростая наука(((

Подскажите на каком курсе изучают понятие пределов? В школе я такого не помню, а в институте пока такого еще не было. Я что-то пропустила?

В школе этого не было.не знаю как у других а у нас на экономике на первом курсе сразу начали.это очень тяжело

Если понимать все значения Х и уметь составлять еще их таблицы, чтобы были видны к чему именно идем и для чего рисуется неровная кривая. Назову ее так. Хотя в школе было всегда мне интересно определить где именно линия должна идти вверх и в какой части график опускается.

Как найти предельную точку? Получается, что нужно найти предел и как говорится его понять. Может ли быть их несколько штук? Интересно знать все эти тонкости, чтобы было все предельно ясно.

Вычисление пределов в принципе дело не сложное, просто требует максимальной усидчивости и сосредоточенности, чего нам так обычно не хватает.

Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.

Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x, и которая сходится к точке x (lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:

Предел функции по Гейне.

Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x, но которая не содержит x как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x), последовательность значений функции сходится к A.

Предел функции по Коши.

Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:

Читайте также:  Как открыть хранилище icloud через компьютер

Ответ

Необходимо рассчитать предел

Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2x — 3:

Таким образом, числитель будет таким:

Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):

Ответ

Решение пределов функции.

Решение пределов функции — это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.

Чтобы решить пределы, следуйте правилам:

  1. Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
  2. Если х стремится не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть . Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо — бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля — бесконечно малое — например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
  3. Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо . Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.

Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.

Ссылка на основную публикацию
Как поменять вид диспетчера задач
А вот вопрос.почему каждый раз когда я выключаю компьютер а на следующий день включаю появляется надпись некорректное выключение. 30-04-2013 в...
Как перевести с одной карты на другую
Перевести деньги с одной карты Сбербанка на другую можно легко, достаточно знать номер только номер карты или номер мобильного телефона...
Как перевести рубли в тысячи в excel
Отображение в MS EXCEL ЧИСЕЛ в формате миллионов и тысяч ​Смотрите также​ 1000, выделяете диапозон​ рублях в тысячи​В1 - Стоимость​#...
Как поменять билеты ржд купленные через интернет
В жизни всегда есть место непредвиденным обстоятельствам. Если срочно потребовалось обменять или вернуть заранее приобретенный билет на более подходящий, это...
Adblock detector