Как разделить квадратный корень на число

Как разделить квадратный корень на число

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень. "
И для тех, кто "очень даже. " )

Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.

Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет. Об этих тонкостях мы ниже поговорим.

У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.

Как делить корни?

Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.

Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!

В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! По формуле деления корней. Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему "Дроби" и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её. И зачем вам тогда квадратные корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но. некомфортно.)

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.

Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.

Но именно эти действия вызывают массу проблем. С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.

Как возвести корень в квадрат?

Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Читайте также:  Как правильно одевать большие наушники

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а — число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.

А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная — разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.

Как извлечь корень из квадрата?

Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.

Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией — извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: "где а — больше, либо равно нулю". В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а — неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца — вот там и начнётся настоящая работа!

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:

Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь.

Теперь по формуле корня из квадрата:

Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 3 10 ? Легко! Это будет 3 5 . Корень из 5 18 ? Запросто! Это будет 5 9 . Ну, и так далее.

А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители — и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:

Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто. Вернём эту простоту и ясное понимание.

Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)

Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:

Здесь всё понятно и просто.

А теперь попробуем вычислить:

Берём, и просто считаем, безо всяких формул:

Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! То есть:

А если бы мы использовали формулу:

получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.

Не работает эта формула для отрицательных значений.

Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:

Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)

Читайте также:  Где на компьютере будильник

Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:

Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:

Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.

Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?

Вычислить (все буквы — неотрицательные):

Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5

Всё нормально!? Отлично. Корни — не ваша проблема.

Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.

Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся не только для решения этих примеров.

Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.

Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается — и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями.

И всё получится.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

4 — полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:

4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.

8 ÷ 36 , переписываем так 8 36

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Читайте также:  Wlan adapter что это

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6 : делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

5 + 2 и 5 — 2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: ( a — b ) ( a + b ) = a 2 — b 2

1 5 + 2 = 1 ( 5 — 2 ) ( 5 — 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 — 2 ( 5 2 — ( 2 ) 2 = 5 — 2 25 — 2 = 5 — 2 23 .

Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 — 2 23 .

Советы:

  1. Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
  2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
  3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
  4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
  5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Чтобы поделить натуральное число на иррациональное (а именно на корень, который не извлекается) необходимо избавится от иррациональности: домножить числитель и знаменатель на корень в знаменателе, ведь корень в квадрате равняется числу без корня!

  • Комментарии (1)
  • Отметить нарушение

Ответ

Проверено экспертом

Решение:

Представим, что нам нужно посчитать . Теперь мы можем домножить все на √x. Вот, что у нас получится: . Понятно, что √x * √x = x. Получаем: . Теперь x можно просто сократить: останется .

Также можно воспользоваться тем, что корень числа, помноженный на себя же, даст само число, и решить задачу без всяких формул.

Ссылка на основную публикацию
Как поменять вид диспетчера задач
А вот вопрос.почему каждый раз когда я выключаю компьютер а на следующий день включаю появляется надпись некорректное выключение. 30-04-2013 в...
Как перевести с одной карты на другую
Перевести деньги с одной карты Сбербанка на другую можно легко, достаточно знать номер только номер карты или номер мобильного телефона...
Как перевести рубли в тысячи в excel
Отображение в MS EXCEL ЧИСЕЛ в формате миллионов и тысяч ​Смотрите также​ 1000, выделяете диапозон​ рублях в тысячи​В1 - Стоимость​#...
Как поменять билеты ржд купленные через интернет
В жизни всегда есть место непредвиденным обстоятельствам. Если срочно потребовалось обменять или вернуть заранее приобретенный билет на более подходящий, это...

Как разделить квадратный корень на число

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень. "
И для тех, кто "очень даже. " )

Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.

Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а — неотрицательное число (больше или равно нулю), b — положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет. Об этих тонкостях мы ниже поговорим.

У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.

Как делить корни?

Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.

Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!

В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь — переводите десятичную дробь в обыкновенную, и — вперёд! По формуле деления корней. Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь — и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему "Дроби" и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её. И зачем вам тогда квадратные корни?

Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но. некомфортно.)

Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.

Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя — да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.

Но именно эти действия вызывают массу проблем. С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.

Как возвести корень в квадрат?

Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Читайте также:  Как правильно одевать большие наушники

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а — число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.

А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями. По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.

Если степень нечётная — разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате — штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.

Как извлечь корень из квадрата?

Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.

Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией — извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: "где а — больше, либо равно нулю". В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а — неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца — вот там и начнётся настоящая работа!

Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:

Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь.

Теперь по формуле корня из квадрата:

Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 3 10 ? Легко! Это будет 3 5 . Корень из 5 18 ? Запросто! Это будет 5 9 . Ну, и так далее.

А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители — и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:

Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто. Вернём эту простоту и ясное понимание.

Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)

Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:

Здесь всё понятно и просто.

А теперь попробуем вычислить:

Берём, и просто считаем, безо всяких формул:

Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) — всегда число неотрицательное! То есть:

А если бы мы использовали формулу:

получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.

Не работает эта формула для отрицательных значений.

Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:

Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)

Читайте также:  Как включить переадресацию на самсунге s4 мини

Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:

Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:

Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.

Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?

Вычислить (все буквы — неотрицательные):

Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5

Всё нормально!? Отлично. Корни — не ваша проблема.

Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.

Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся не только для решения этих примеров.

Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.

Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается — и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями.

И всё получится.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

144 ÷ 36 , это выражение следует переписать так: 144 36

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

144 36 . Это выражение следует записать так: 144 36

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

144 36 = 4 , запишем это выражение так: 144 36 = 4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

4 — полный квадрат, потому что 2 × 2 = 4 . Из этого следует:

4 = 2 × 2 = 2 . Поэтому 144 36 = 4 = 2 .

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители.

8 ÷ 36 , переписываем так 8 36

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Читайте также:  Toshiba satellite c670 a2k

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 , из этого следует: 8 36 = 2 2 6

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него.

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

В выражении 6 2 3 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3 , чтобы избавиться от него в знаменателе:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

2 6 упрощается до 1 3 ; таким образом 2 2 6 упрощается до 1 2 3 = 2 3

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

4 32 6 16 . Сначала сокращаем 4 6 : делим на 2 и числитель, и знаменатель: 4 6 = 2 3 .

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

32 делится нацело на 16 , поэтому: 32 16 = 2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

4 3 2 7 . Следует умножить числитель и знаменатель на 7 , чтобы избавиться от корня в знаменателе.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

1 5 + 2 — в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

5 + 2 и 5 — 2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: ( a — b ) ( a + b ) = a 2 — b 2

1 5 + 2 = 1 ( 5 — 2 ) ( 5 — 2 ) ( 5 + 2 ) = 5 — 2 ( 5 2 — ( 2 ) 2 = 5 — 2 25 — 2 = 5 — 2 23 .

Из этого следует: 1 5 + 2 = 5 — 2 23 .

Советы:

  1. Если вы работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь.
  2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
  3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
  4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
  5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Чтобы поделить натуральное число на иррациональное (а именно на корень, который не извлекается) необходимо избавится от иррациональности: домножить числитель и знаменатель на корень в знаменателе, ведь корень в квадрате равняется числу без корня!

  • Комментарии (1)
  • Отметить нарушение

Ответ

Проверено экспертом

Решение:

Представим, что нам нужно посчитать . Теперь мы можем домножить все на √x. Вот, что у нас получится: . Понятно, что √x * √x = x. Получаем: . Теперь x можно просто сократить: останется .

Также можно воспользоваться тем, что корень числа, помноженный на себя же, даст само число, и решить задачу без всяких формул.

Ссылка на основную публикацию
Как поменять вид диспетчера задач
А вот вопрос.почему каждый раз когда я выключаю компьютер а на следующий день включаю появляется надпись некорректное выключение. 30-04-2013 в...
Как перевести с одной карты на другую
Перевести деньги с одной карты Сбербанка на другую можно легко, достаточно знать номер только номер карты или номер мобильного телефона...
Как перевести рубли в тысячи в excel
Отображение в MS EXCEL ЧИСЕЛ в формате миллионов и тысяч ​Смотрите также​ 1000, выделяете диапозон​ рублях в тысячи​В1 - Стоимость​#...
Как поменять билеты ржд купленные через интернет
В жизни всегда есть место непредвиденным обстоятельствам. Если срочно потребовалось обменять или вернуть заранее приобретенный билет на более подходящий, это...
Adblock detector