Как разрезать торт на 5 равных частей

Как разрезать торт на 5 равных частей

Войти

  • Регистрация 18.10.2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

Ответы

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362






Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 22 май 2011
  • Индекс активности 141
  • Рейтинг автора 3
  • Город марнеули
  • Блог 1

  • Регистрация 2 дек 2011
  • Индекс активности 115
  • Рейтинг автора 4
  • Город Ташкент

  • Регистрация 11 янв 2010
  • Индекс активности 816
  • Рейтинг автора 35
  • Город Украина, Луганская область
  • Рецепты 1

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 9 янв 2012
  • Индекс активности 4 474
  • Рейтинг автора 237
  • Город Днепропетровск
  • Рецепты 9

От Ксюньчик

Как разрезать свадебный торт

Мы предлагаем вашему вниманию диаграммы разрезания свадебных тортов, а также тортов сложной или многоярусной формы. Они призваны наглядно помочь в этом нелегком, на самом деле, процессе. Как правило, верхний ярус свадебных тортов не подается гостям, его снимают первым и оставляют в нетронутом виде для жениха и невесты. Торт начинают резать со второго верхнего яруса, затем идет очередь третьего и так далее до самого последнего — нижнего.

На этом уроке вы узнаете, что такое дробь, на примере различных предметов из жизни. Научитесь находить дробь от числа и решите с учителем несколько примеров.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 2. Дроби. Рациональные числа» и урок «Десятичные дроби и проценты».

Слово «дробь» означает часть, нецелое количество, нецелое число.

Пол-литра молока. Для обозначения такого количества, для половины, мы используем дробь (рис. 1).

Рис. 1. литра молока

Треть пути. Если мы прошли треть пути, то мы знаем, что путь делится на три части и мы прошли одну такую часть (рис. 2).

Рис. 2. Треть пути

Одну часть мы обозначаем дробью . Оставшийся путь составляет . Если весь путь был 6 км, то треть пути – это 2 км, оставшиеся – это 4 км (рис. 3).

Рис. 3. Путь, разделенный на части

Четверть часа. Один час, то есть 60 минут, удобно делится на 4 части (рис. 4).

Рис. 4. Час, разделенный на четыре части

В каждой части по 15 минут. Одна такая часть называется четвертью. Обозначается как (рис. 5). Оставшаяся часть часа, 45 минут, содержит три таких четверти по 15 минут, обозначается (рис. 6).

Рис. 5. Четверть часа

Рис. 6. Три четверти часа

Во всех этих примерах одинаковым было то, что мы брали объект (литр молока, путь, час) и делили на несколько равных частей. Потом брали одну или несколько таких частей и это количество и называли дробью.

Разделим торт на шесть равных частей. Каждая часть торта – это торта (рис. 7).

Рис. 7. Торт, разделенный на шесть равных частей

Если взять две части торта, то получится (две шестых) торта (рис. 8). А оставшаяся часть будет составлять (четыре шестых) торта (рис. 9).

Рис. 8. Две шестых торта

Рис. 9. Четыре шестых торта

Какую часть торта означает дробь ?

Речь идет о пятых, значит, торт нужно разделить на пять частей (рис. 10) и взять три из них: (рис. 11). Мы получаем чуть больше половины торта.

Читайте также:  Как переключить на англ язык на клавиатуре

Рис. 10. Торт, разделенный на пять частей

Рис. 11. Три пятых торта

Не обязательно делить что-то целое, например торт, на части. Можно взять несколько предметов (множество) и разделить его на равные части.

Пусть есть 10 яблок (рис. 12). Разделим их на 5 равных частей, так как речь идет о пятых. Каждая часть будет состоять из двух яблок. Сама доля будет обозначаться , ведь делили мы на 5 частей (рис. 13).

Рис. 12. Множество, состоящее из яблок

Рис. 13. Множество яблок, разделенное на пять частей

множества из 10 яблок будет содержать 2 яблока, а уже будет содержать 3 раза по 2 яблока, то есть 6 яблок.

Не обязательно представлять конкретные объекты, как торт или множество яблок, чтобы работать с дробями. Можно оперировать с дробью как с математическим объектом.

Возьмем дробь . Нижняя часть дроби, 7, называется знаменателем. Она сообщает, на сколько частей мы делили. Делили на 7 равных частей (рис. 14).

Рис. 14. Семь равных частей

Верхняя часть дроби, 3, называется числителем. Она сообщает, сколько таких частей мы взяли. То есть дробь состоит из трех долей (рис. 15), полученных при делении на 7 равных частей.

Рис. 15. Три доли, взятые из семи равных частей

Что означает дробь ? Нужно разделить объект на 873 равные части. Каждая часть – это . Теперь нужно взять 214 таких долей.

Потренируемся находить дроби от разных количеств.

В классе 30 человек. класса пойдет на французский язык, класса – на английский. Сколько человек каким языком будет заниматься?

Чтобы найти от 30, нужно класс разделить на три равные части, то есть 30 разделить на 3. Тот факт, что мы ищем от 30, будем записывать как . Предлог «от» мы заменяем знаком умножения:

Полученное число 10 – это и есть доля от общего количества учеников, от 30. Мы выяснили, что 10 учеников пойдут заниматься французским языком.

Найдем общего количества учеников, то есть от 30. Разделим 30 на 3 и умножим полученный результат на два.

Найдем от общего количества учеников, то есть от 30 или . Делим 30 на 5, получаем от 30, а именно 6. Тогда от 30 будет равна четырем таким долям, то есть 24.

Давайте теперь сформулируем, как мы находили дробь для числа.

Пусть дано число и необходимо найти его часть , то есть дробь от . Знаменатель говорит, на сколько частей надо делить, а числитель – сколько таких долей брать, умножать. То есть необходимо разделить на и умножить на .

Сколько минут составляет часа? часа? часа? от трех часов?

часа – это от 60 минут. Делим 60 на 2. Мы сразу получаем долю , это 30 минут. Или, как чаще говорят, полчаса. Половина часа.

от 60 минут. Делим 60 на 3 и умножаем на 2.

от 60 минут. Делим 60 на 6. Получаем 10 минут, то есть часа. И умножаем на 5.

от трех часов. Три часа – это 180 минут, то есть ищем от 180. 180 делим на 4, то есть одна четверть от этого числа равна 45, и берем три таких части, умножаем на три.

За три дня похода класс прошел 45 км. За первый день было пройдено пути. За второй день оставшегося пути. Сколько километров проходил класс в каждый из трех дней?

Весь путь – 45 км.

Первый день – пути, то есть от 45 км.

Второй день – оставшегося пути. А какой путь остался? Так как в первый день прошли 15 км, то осталось км.

Третий день – весь оставшийся путь. Во второй день было пройдено 18 км из остававшихся 30. Значит, на третий день осталось км.

Еще раз повторим. Чтобы найти дробь от числа, от количества, нужно это число поделить на знаменатель нашей дроби и умножить на числитель.

Список литературы

  1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – 14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013. – 270 с.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика. 5 класс. – М.: 2014. – 304 с.
  3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика. 5 класс. – 24-е изд., испр. – М.: 2008. – 280 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Читайте также:  Дергается картинка в играх при 60 фпс

Домашнее задание

  1. от 48
  2. от 25
  3. от двух часов
  4. от 27

Специалисты по информатике разработали алгоритм справедливого раздела пирога для любого количества людей

Двое молодых учёных, специалистов в области информатики, придумали, как честно поделить торт между любым количеством людей, решив задачу, над которой математики бились десятилетиями. Их работа удивила многих исследователей, считавших такое разделение невозможным в принципе.

Делёж пирога – это метафора для широкого круга реальных задач, включающих деление некоего непрерывного объекта, будь это торт или надел земли, между людьми, по-разному оценивающими его свойства. Одному нравится шоколадное покрытие, другой хочет получить кремовые цветочки. С библейских времён известен алгоритм деления такого объекта между двумя людьми, такой, чтобы никто не завидовал другому: один человек делит торт на две равные для него части, а другой выбирает одну из них. В Книге Бытия Авраам (тогда ещё известный, как Аврам) и Лот использовали этот метод для раздела земли, когда Авраам придумывал разделение, а Лот выбирал между Иорданом и Ханааном.

В 1960-х математики придумали алгоритм для подобного разделения пирога «без зависти» уже для трёх человек. Но до сих пор лучшим решением задачи для количества людей больше трёх была процедура, созданная в 1995 году политологом Стивеном Брамсом [Steven Brams] из Нью-Йоркского университета и математиком Аланом Тейлором [Alan Taylor] из Юнион-колледжа. Она гарантировала «справедливую» делёжку пирога, но с одним условием – процедура была «неограниченной», то есть число шагов, необходимое для делёжки, могло оказаться сколь угодно большим.

Алгоритм Брамса-Тейлора в своё время был назван прорывным, но «его неограниченность, по-моему, была большим недостатком», говорит Ариель Прокаччиа [Ariel Procaccia], специалист по информатике из Университета Карнеги-Меллон, один из создателей Spliddit, бесплатного онлайн-инструмента для справедливого раздела различных задач, от домашних обязанностей до платы за совместную аренду квартиры.

За последние 50 лет многие математики и специалисты по информатике, включая Прокаччиа, убедили себя, что ограниченного справедливого алгоритма по разделу торта на n частей не существует.

«Именно эта задача привела меня в область справедливых разделений»,- говорит Уолтер Стромквист [Walter Stromquist], профессор математики в Колледже Брина Мавра в Пенсильвании, достигший неплохих результатов в задаче делёжки торта в 1980. «Всю жизнь я думал, что я вернусь к этой задаче в свободное время и докажу, что такое расширение результата невозможно в принципе».

Но, в апреле два специалиста по информатике опровергли эти ожидания, опубликовав алгоритм справедливой делёжки торта со временем работы, зависящим от количества участников дележа, а не от их личных предпочтений. Один из учёных, 27-летний Саймон Макензи [Simon Mackenzie], доктор наук из Карнеги-Меллон, представлял свою работу 10 октября на 57-м ежегодном симпозиуме IEEE по основам информатики.

Алгоритм чрезвычайно сложный. Раздел торта между n участниками может потребовать до n n n n n n шагов, с примерно таким же количеством разрезов. Даже для небольшого количества участников это число превышает количество атомов во Вселенной. Но у исследователей уже есть идеи по упрощению и ускорению алгоритма, по словам второго участника команды, Хариса Азиза [Haris Aziz], 35-летнего специалиста по информатике из Университета Нового Южного Уэльса, работающего в австралийской группе исследования данных Data61.

Специалисты, исследующие теорию справедливого деления, по словам Прокаччиа, считают это «однозначно лучшим результатом за десятилетия».

Алгоритм Азиза и Макензи основан на элегантной процедуре, независимо придуманной математиками Джоном Селфриджем [John Selfridge] и Джоном Конвейем в 1960-х, позволяющим справедливо разделить торт на троих.

Если Алиса, Боб и Чарли (A, B, C) хотят разделить торт, алгоритм начинается с того, что Чарли делит торт на три куска, которые для него выглядят равноценными. Алиса и Боб выбирают куски, нравящиеся им. Если они выберут разные куски – вуаля, каждый получает то, что хотел.

Если Алиса и Боб выберут один кусок, тогда Боб отрезает небольшую часть от этого куска так, чтобы кусок стал равноценен, с его точки зрения, другому куску торта – тому, который бы Боб выбрал во вторую очередь. Отрезанный остаточек откладывается. Теперь Алиса должна выбрать лучший для себя кусок из оставшихся трёх, а затем выбирает Боб – с условием, что он возьмёт обрезанный им кусок, если Алиса его не выберет. Чарли получает третий кусок.

В результате никто никому не завидует. Алиса выбирала первой. Боб получил один из двух одинаково ценных для него кусков. Чарли получил один из трёх изначальных кусков, которые он резал сам.

Читайте также:  Как включить имя администратора

Остаётся лишь небольшой отрезанный остаточек. Но его можно разделить, не начиная алгоритм сначала и не попадая в бесконечный цикл обрезаний и выборов, поскольку Чарли в любом случае удовлетворён своим куском – и даже если бы тот, кому достался обрезанный кусок, получил бы в довесок к нему весь остаточек целиком, для Чарли это не выглядело бы нечестным, потому что обрезанный кусок и остаточек в сумме дадут кусок торта, эквивалентный его куску – ведь он изначально сам эти куски и нарезал. Азиз и Макензи описывают такое положение Чарли, как «доминирующее».

Теперь, если, к примеру, Алисе достался обрезанный кусок, то Боб режет обрезки на три части, эквивалентные с его точки зрения, Алиса из этих кусков выбирает один себе, затем выбирает Чарли, затем Боб. Все счастливы: Алиса выбирала первой, Чарли получает кусок лучше, чем у Боба (и ему всё равно, сколько взяла Алиса), а с точки зрения Боба все три куска равноценны.

Брамс и Тейлор использовали свойство «доминирования» (но с другим именем) для разработки своего алгоритма 1995 года, но они не дожали свою идею до появления ограниченного алгоритма. В следующие 20 лет никто не добился лучших результатов. «И не из-за недостатка попыток», как говорит Прокаччиа.

Когда Азиз и Макензи (АиМ) решили взяться за эту задачу пару лет назад, они были новичками в задаче дележа торта. «У нас не было столько опыта, как у людей, интенсивно работавших над ней,- говорит Азиз. – Хотя обычно это недостаток, в нашем случае он был преимуществом, поскольку мы думали по-другому».

АиМ начали с изучения задачи дележа на трёх участников с нуля, и в результате анализа пришли к ограниченному справедливому алгоритму для четырёх участников, опубликованному ими в прошлом году.

Им не удалось сразу показать, как расширить свой алгоритм на число участников, большее четырёх, но они с энтузиазмом занялись этой задачей. «После отправки работы, касавшейся четырёх участников, мы очень хотели побыстрее продолжить работу, пока кто-нибудь более опытный и умный не обобщит её самостоятельно до случая с n участниками»,- говорит Азиз. И примерно через год их поиски увенчались успехом.

Как и алгоритм Селфриджа-Конвея, протокол АиМ постоянно предлагает разным участникам разрезать торт на n равных частей, а другим – делать отрезы и выбирать куски торта. Но в алгоритме есть и другие шаги, например периодический обмен кусками тортов специальным образом, с целью увеличения количества доминирующих взаимоотношений между участниками.

Эти отношения позволяют АиМ уменьшить сложность задаче. Если, допустим, три участника доминируют над остальными, их уже можно отправлять есть свои куски торта – они будут довольны вне зависимости от того, кто получит остатки. После этого остаётся меньшее число участников, и после ограниченного количества таких шагов все остаются довольными и весь торт оказывается поделён.

«Оглядываясь назад, на сложность алгоритма, становится неудивительно, что его разработка потребовала столько времени»,- говорит Прокаччиа. Но АиМ уже считают, что могут упростить алгоритм, чтобы он не требовал обмена кусками и проходил всего за n n n шагов. По словам Азиза, они уже работают над этими результатами.

Брамс предупреждает, что и у более простого алгоритма не будет практического применения – ведь куски торта, полученные участниками, будут включать множество мелких крошек с разных частей торта. Такой подход не особенно-то полезен, если вы, например, проводите раздел земли.

Но для специалистов по математике и информатике, изучающих задачу, новый результат «обнуляет всю тему», говорит Стромквист.

Теперь, когда исследователям известно, что торт можно разделить за ограниченное число шагов, следующим шагом, по словам Прокаччиа, будет понимание большого разрыва между верхним ограничением количества шагов по методу АиМ, и нижним ограничением необходимого для этого количества шагов. Прокаччиа уже доказал ранее, что алгоритм справедливого разделения торта не может проходить менее, чем за n 2 шагов – но это количество шагов крошечное по сравнению с n n n n n n и даже с n n n .

Азиз говорит, что исследователям теперь предстоит понять, как сократить этот разрыв. «Думаю, что в обоих направлениях может быть достигнут прогресс».

Ссылка на основную публикацию
Как поменять вид диспетчера задач
А вот вопрос.почему каждый раз когда я выключаю компьютер а на следующий день включаю появляется надпись некорректное выключение. 30-04-2013 в...
Как перевести с одной карты на другую
Перевести деньги с одной карты Сбербанка на другую можно легко, достаточно знать номер только номер карты или номер мобильного телефона...
Как перевести рубли в тысячи в excel
Отображение в MS EXCEL ЧИСЕЛ в формате миллионов и тысяч ​Смотрите также​ 1000, выделяете диапозон​ рублях в тысячи​В1 - Стоимость​#...
Как поменять билеты ржд купленные через интернет
В жизни всегда есть место непредвиденным обстоятельствам. Если срочно потребовалось обменять или вернуть заранее приобретенный билет на более подходящий, это...

Как разрезать торт на 5 равных частей

Войти

  • Регистрация 18.10.2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

Ответы

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362






Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 22 май 2011
  • Индекс активности 141
  • Рейтинг автора 3
  • Город марнеули
  • Блог 1

  • Регистрация 2 дек 2011
  • Индекс активности 115
  • Рейтинг автора 4
  • Город Ташкент

  • Регистрация 11 янв 2010
  • Индекс активности 816
  • Рейтинг автора 35
  • Город Украина, Луганская область
  • Рецепты 1

  • Регистрация 18 окт 2004
  • Индекс активности 95 592
  • Рейтинг автора 4 489
  • Город Москва
  • Блог 4
  • Рецепты 1362

Внимание! Все рецепты выставляем через КАТАЛОГ РЕЦЕПТОВ

Если ты не можешь изменить ситуацию, измени свое отношение к ней.

  • Регистрация 9 янв 2012
  • Индекс активности 4 474
  • Рейтинг автора 237
  • Город Днепропетровск
  • Рецепты 9

От Ксюньчик

Как разрезать свадебный торт

Мы предлагаем вашему вниманию диаграммы разрезания свадебных тортов, а также тортов сложной или многоярусной формы. Они призваны наглядно помочь в этом нелегком, на самом деле, процессе. Как правило, верхний ярус свадебных тортов не подается гостям, его снимают первым и оставляют в нетронутом виде для жениха и невесты. Торт начинают резать со второго верхнего яруса, затем идет очередь третьего и так далее до самого последнего — нижнего.

На этом уроке вы узнаете, что такое дробь, на примере различных предметов из жизни. Научитесь находить дробь от числа и решите с учителем несколько примеров.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 2. Дроби. Рациональные числа» и урок «Десятичные дроби и проценты».

Слово «дробь» означает часть, нецелое количество, нецелое число.

Пол-литра молока. Для обозначения такого количества, для половины, мы используем дробь (рис. 1).

Рис. 1. литра молока

Треть пути. Если мы прошли треть пути, то мы знаем, что путь делится на три части и мы прошли одну такую часть (рис. 2).

Рис. 2. Треть пути

Одну часть мы обозначаем дробью . Оставшийся путь составляет . Если весь путь был 6 км, то треть пути – это 2 км, оставшиеся – это 4 км (рис. 3).

Рис. 3. Путь, разделенный на части

Четверть часа. Один час, то есть 60 минут, удобно делится на 4 части (рис. 4).

Рис. 4. Час, разделенный на четыре части

В каждой части по 15 минут. Одна такая часть называется четвертью. Обозначается как (рис. 5). Оставшаяся часть часа, 45 минут, содержит три таких четверти по 15 минут, обозначается (рис. 6).

Рис. 5. Четверть часа

Рис. 6. Три четверти часа

Во всех этих примерах одинаковым было то, что мы брали объект (литр молока, путь, час) и делили на несколько равных частей. Потом брали одну или несколько таких частей и это количество и называли дробью.

Разделим торт на шесть равных частей. Каждая часть торта – это торта (рис. 7).

Рис. 7. Торт, разделенный на шесть равных частей

Если взять две части торта, то получится (две шестых) торта (рис. 8). А оставшаяся часть будет составлять (четыре шестых) торта (рис. 9).

Рис. 8. Две шестых торта

Рис. 9. Четыре шестых торта

Какую часть торта означает дробь ?

Речь идет о пятых, значит, торт нужно разделить на пять частей (рис. 10) и взять три из них: (рис. 11). Мы получаем чуть больше половины торта.

Читайте также:  Как включить имя администратора

Рис. 10. Торт, разделенный на пять частей

Рис. 11. Три пятых торта

Не обязательно делить что-то целое, например торт, на части. Можно взять несколько предметов (множество) и разделить его на равные части.

Пусть есть 10 яблок (рис. 12). Разделим их на 5 равных частей, так как речь идет о пятых. Каждая часть будет состоять из двух яблок. Сама доля будет обозначаться , ведь делили мы на 5 частей (рис. 13).

Рис. 12. Множество, состоящее из яблок

Рис. 13. Множество яблок, разделенное на пять частей

множества из 10 яблок будет содержать 2 яблока, а уже будет содержать 3 раза по 2 яблока, то есть 6 яблок.

Не обязательно представлять конкретные объекты, как торт или множество яблок, чтобы работать с дробями. Можно оперировать с дробью как с математическим объектом.

Возьмем дробь . Нижняя часть дроби, 7, называется знаменателем. Она сообщает, на сколько частей мы делили. Делили на 7 равных частей (рис. 14).

Рис. 14. Семь равных частей

Верхняя часть дроби, 3, называется числителем. Она сообщает, сколько таких частей мы взяли. То есть дробь состоит из трех долей (рис. 15), полученных при делении на 7 равных частей.

Рис. 15. Три доли, взятые из семи равных частей

Что означает дробь ? Нужно разделить объект на 873 равные части. Каждая часть – это . Теперь нужно взять 214 таких долей.

Потренируемся находить дроби от разных количеств.

В классе 30 человек. класса пойдет на французский язык, класса – на английский. Сколько человек каким языком будет заниматься?

Чтобы найти от 30, нужно класс разделить на три равные части, то есть 30 разделить на 3. Тот факт, что мы ищем от 30, будем записывать как . Предлог «от» мы заменяем знаком умножения:

Полученное число 10 – это и есть доля от общего количества учеников, от 30. Мы выяснили, что 10 учеников пойдут заниматься французским языком.

Найдем общего количества учеников, то есть от 30. Разделим 30 на 3 и умножим полученный результат на два.

Найдем от общего количества учеников, то есть от 30 или . Делим 30 на 5, получаем от 30, а именно 6. Тогда от 30 будет равна четырем таким долям, то есть 24.

Давайте теперь сформулируем, как мы находили дробь для числа.

Пусть дано число и необходимо найти его часть , то есть дробь от . Знаменатель говорит, на сколько частей надо делить, а числитель – сколько таких долей брать, умножать. То есть необходимо разделить на и умножить на .

Сколько минут составляет часа? часа? часа? от трех часов?

часа – это от 60 минут. Делим 60 на 2. Мы сразу получаем долю , это 30 минут. Или, как чаще говорят, полчаса. Половина часа.

от 60 минут. Делим 60 на 3 и умножаем на 2.

от 60 минут. Делим 60 на 6. Получаем 10 минут, то есть часа. И умножаем на 5.

от трех часов. Три часа – это 180 минут, то есть ищем от 180. 180 делим на 4, то есть одна четверть от этого числа равна 45, и берем три таких части, умножаем на три.

За три дня похода класс прошел 45 км. За первый день было пройдено пути. За второй день оставшегося пути. Сколько километров проходил класс в каждый из трех дней?

Весь путь – 45 км.

Первый день – пути, то есть от 45 км.

Второй день – оставшегося пути. А какой путь остался? Так как в первый день прошли 15 км, то осталось км.

Третий день – весь оставшийся путь. Во второй день было пройдено 18 км из остававшихся 30. Значит, на третий день осталось км.

Еще раз повторим. Чтобы найти дробь от числа, от количества, нужно это число поделить на знаменатель нашей дроби и умножить на числитель.

Список литературы

  1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – 14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013. – 270 с.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика. 5 класс. – М.: 2014. – 304 с.
  3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. Математика. 5 класс. – 24-е изд., испр. – М.: 2008. – 280 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Читайте также:  Как говорить в вк по видеосвязи

Домашнее задание

  1. от 48
  2. от 25
  3. от двух часов
  4. от 27

Специалисты по информатике разработали алгоритм справедливого раздела пирога для любого количества людей

Двое молодых учёных, специалистов в области информатики, придумали, как честно поделить торт между любым количеством людей, решив задачу, над которой математики бились десятилетиями. Их работа удивила многих исследователей, считавших такое разделение невозможным в принципе.

Делёж пирога – это метафора для широкого круга реальных задач, включающих деление некоего непрерывного объекта, будь это торт или надел земли, между людьми, по-разному оценивающими его свойства. Одному нравится шоколадное покрытие, другой хочет получить кремовые цветочки. С библейских времён известен алгоритм деления такого объекта между двумя людьми, такой, чтобы никто не завидовал другому: один человек делит торт на две равные для него части, а другой выбирает одну из них. В Книге Бытия Авраам (тогда ещё известный, как Аврам) и Лот использовали этот метод для раздела земли, когда Авраам придумывал разделение, а Лот выбирал между Иорданом и Ханааном.

В 1960-х математики придумали алгоритм для подобного разделения пирога «без зависти» уже для трёх человек. Но до сих пор лучшим решением задачи для количества людей больше трёх была процедура, созданная в 1995 году политологом Стивеном Брамсом [Steven Brams] из Нью-Йоркского университета и математиком Аланом Тейлором [Alan Taylor] из Юнион-колледжа. Она гарантировала «справедливую» делёжку пирога, но с одним условием – процедура была «неограниченной», то есть число шагов, необходимое для делёжки, могло оказаться сколь угодно большим.

Алгоритм Брамса-Тейлора в своё время был назван прорывным, но «его неограниченность, по-моему, была большим недостатком», говорит Ариель Прокаччиа [Ariel Procaccia], специалист по информатике из Университета Карнеги-Меллон, один из создателей Spliddit, бесплатного онлайн-инструмента для справедливого раздела различных задач, от домашних обязанностей до платы за совместную аренду квартиры.

За последние 50 лет многие математики и специалисты по информатике, включая Прокаччиа, убедили себя, что ограниченного справедливого алгоритма по разделу торта на n частей не существует.

«Именно эта задача привела меня в область справедливых разделений»,- говорит Уолтер Стромквист [Walter Stromquist], профессор математики в Колледже Брина Мавра в Пенсильвании, достигший неплохих результатов в задаче делёжки торта в 1980. «Всю жизнь я думал, что я вернусь к этой задаче в свободное время и докажу, что такое расширение результата невозможно в принципе».

Но, в апреле два специалиста по информатике опровергли эти ожидания, опубликовав алгоритм справедливой делёжки торта со временем работы, зависящим от количества участников дележа, а не от их личных предпочтений. Один из учёных, 27-летний Саймон Макензи [Simon Mackenzie], доктор наук из Карнеги-Меллон, представлял свою работу 10 октября на 57-м ежегодном симпозиуме IEEE по основам информатики.

Алгоритм чрезвычайно сложный. Раздел торта между n участниками может потребовать до n n n n n n шагов, с примерно таким же количеством разрезов. Даже для небольшого количества участников это число превышает количество атомов во Вселенной. Но у исследователей уже есть идеи по упрощению и ускорению алгоритма, по словам второго участника команды, Хариса Азиза [Haris Aziz], 35-летнего специалиста по информатике из Университета Нового Южного Уэльса, работающего в австралийской группе исследования данных Data61.

Специалисты, исследующие теорию справедливого деления, по словам Прокаччиа, считают это «однозначно лучшим результатом за десятилетия».

Алгоритм Азиза и Макензи основан на элегантной процедуре, независимо придуманной математиками Джоном Селфриджем [John Selfridge] и Джоном Конвейем в 1960-х, позволяющим справедливо разделить торт на троих.

Если Алиса, Боб и Чарли (A, B, C) хотят разделить торт, алгоритм начинается с того, что Чарли делит торт на три куска, которые для него выглядят равноценными. Алиса и Боб выбирают куски, нравящиеся им. Если они выберут разные куски – вуаля, каждый получает то, что хотел.

Если Алиса и Боб выберут один кусок, тогда Боб отрезает небольшую часть от этого куска так, чтобы кусок стал равноценен, с его точки зрения, другому куску торта – тому, который бы Боб выбрал во вторую очередь. Отрезанный остаточек откладывается. Теперь Алиса должна выбрать лучший для себя кусок из оставшихся трёх, а затем выбирает Боб – с условием, что он возьмёт обрезанный им кусок, если Алиса его не выберет. Чарли получает третий кусок.

В результате никто никому не завидует. Алиса выбирала первой. Боб получил один из двух одинаково ценных для него кусков. Чарли получил один из трёх изначальных кусков, которые он резал сам.

Читайте также:  Как переключить на англ язык на клавиатуре

Остаётся лишь небольшой отрезанный остаточек. Но его можно разделить, не начиная алгоритм сначала и не попадая в бесконечный цикл обрезаний и выборов, поскольку Чарли в любом случае удовлетворён своим куском – и даже если бы тот, кому достался обрезанный кусок, получил бы в довесок к нему весь остаточек целиком, для Чарли это не выглядело бы нечестным, потому что обрезанный кусок и остаточек в сумме дадут кусок торта, эквивалентный его куску – ведь он изначально сам эти куски и нарезал. Азиз и Макензи описывают такое положение Чарли, как «доминирующее».

Теперь, если, к примеру, Алисе достался обрезанный кусок, то Боб режет обрезки на три части, эквивалентные с его точки зрения, Алиса из этих кусков выбирает один себе, затем выбирает Чарли, затем Боб. Все счастливы: Алиса выбирала первой, Чарли получает кусок лучше, чем у Боба (и ему всё равно, сколько взяла Алиса), а с точки зрения Боба все три куска равноценны.

Брамс и Тейлор использовали свойство «доминирования» (но с другим именем) для разработки своего алгоритма 1995 года, но они не дожали свою идею до появления ограниченного алгоритма. В следующие 20 лет никто не добился лучших результатов. «И не из-за недостатка попыток», как говорит Прокаччиа.

Когда Азиз и Макензи (АиМ) решили взяться за эту задачу пару лет назад, они были новичками в задаче дележа торта. «У нас не было столько опыта, как у людей, интенсивно работавших над ней,- говорит Азиз. – Хотя обычно это недостаток, в нашем случае он был преимуществом, поскольку мы думали по-другому».

АиМ начали с изучения задачи дележа на трёх участников с нуля, и в результате анализа пришли к ограниченному справедливому алгоритму для четырёх участников, опубликованному ими в прошлом году.

Им не удалось сразу показать, как расширить свой алгоритм на число участников, большее четырёх, но они с энтузиазмом занялись этой задачей. «После отправки работы, касавшейся четырёх участников, мы очень хотели побыстрее продолжить работу, пока кто-нибудь более опытный и умный не обобщит её самостоятельно до случая с n участниками»,- говорит Азиз. И примерно через год их поиски увенчались успехом.

Как и алгоритм Селфриджа-Конвея, протокол АиМ постоянно предлагает разным участникам разрезать торт на n равных частей, а другим – делать отрезы и выбирать куски торта. Но в алгоритме есть и другие шаги, например периодический обмен кусками тортов специальным образом, с целью увеличения количества доминирующих взаимоотношений между участниками.

Эти отношения позволяют АиМ уменьшить сложность задаче. Если, допустим, три участника доминируют над остальными, их уже можно отправлять есть свои куски торта – они будут довольны вне зависимости от того, кто получит остатки. После этого остаётся меньшее число участников, и после ограниченного количества таких шагов все остаются довольными и весь торт оказывается поделён.

«Оглядываясь назад, на сложность алгоритма, становится неудивительно, что его разработка потребовала столько времени»,- говорит Прокаччиа. Но АиМ уже считают, что могут упростить алгоритм, чтобы он не требовал обмена кусками и проходил всего за n n n шагов. По словам Азиза, они уже работают над этими результатами.

Брамс предупреждает, что и у более простого алгоритма не будет практического применения – ведь куски торта, полученные участниками, будут включать множество мелких крошек с разных частей торта. Такой подход не особенно-то полезен, если вы, например, проводите раздел земли.

Но для специалистов по математике и информатике, изучающих задачу, новый результат «обнуляет всю тему», говорит Стромквист.

Теперь, когда исследователям известно, что торт можно разделить за ограниченное число шагов, следующим шагом, по словам Прокаччиа, будет понимание большого разрыва между верхним ограничением количества шагов по методу АиМ, и нижним ограничением необходимого для этого количества шагов. Прокаччиа уже доказал ранее, что алгоритм справедливого разделения торта не может проходить менее, чем за n 2 шагов – но это количество шагов крошечное по сравнению с n n n n n n и даже с n n n .

Азиз говорит, что исследователям теперь предстоит понять, как сократить этот разрыв. «Думаю, что в обоих направлениях может быть достигнут прогресс».

Ссылка на основную публикацию
Как поменять вид диспетчера задач
А вот вопрос.почему каждый раз когда я выключаю компьютер а на следующий день включаю появляется надпись некорректное выключение. 30-04-2013 в...
Как перевести с одной карты на другую
Перевести деньги с одной карты Сбербанка на другую можно легко, достаточно знать номер только номер карты или номер мобильного телефона...
Как перевести рубли в тысячи в excel
Отображение в MS EXCEL ЧИСЕЛ в формате миллионов и тысяч ​Смотрите также​ 1000, выделяете диапозон​ рублях в тысячи​В1 - Стоимость​#...
Как поменять билеты ржд купленные через интернет
В жизни всегда есть место непредвиденным обстоятельствам. Если срочно потребовалось обменять или вернуть заранее приобретенный билет на более подходящий, это...
Adblock detector