Определение действительного числа
Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.
Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел $R$ .
Например. $frac<2> <3>; 0,754 ;-23 ;-frac<5> <4>; 113 ;-sqrt[3] <2>;-2,34 ; frac<1><pi>$ — все это действительные числа.
На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
Сложение действительных чисел
Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое суммой этих чисел. При этом
Свойства операции сложения действительных чисел
Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$
Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$
Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа $a$
Для любого числа $a$ существует число, обозначаемое $(-a)$, такое, что
число $(-a)$ называется противоположным числу $a$ ;
Вычитание действительных чисел
Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ число $c=a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$, и обозначается
Задание. Найти сумму и разность действительных чисел $23$ и $12,4$
Решение. Сумма заданных чисел равна $23+12,4=35,4$
Ответ.
Умножение действительных чисел
На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ существует единственное число $c$, называемое их произведением и обозначаемая
Свойства операции умножения действительных чисел
Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел $a$ и $b$
$$a cdot b=b cdot a$$
Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел $a$, $b$ и $c$
$$(a cdot b) cdot c=a cdot(b cdot c)$$
Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа $a$
$$a cdot 1=1 cdot a$$
Для любого числа $a$, отличного от нуля, существует число, обозначаемое $$(1 / a)$$, такое, что
число $$(1 / a)$$ называется обратным числу $a$ ;
Деление действительных чисел
Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ ( $b$ отлично от нуля) существует число $c$
называется частным от деления числа $a$ на $b$, и обозначается
Задание. Найти произведение и частное действительных чисел $1,2$ и $5$
Решение. Произведение заданных чисел равно $1,2 cdot 5=6$
Частное: $1,2 : 5=1,2 cdot frac<1><5>=1,2 cdot 0,2=0,24$
Ответ.
Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:
13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13.1 Основные понятия
Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство. ) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х 2 +2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В. X, Y. а их элементы — малыми буквами a, b. . х,у.
Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х Î X; запись х Ï Х или х Î X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, запись А= <1,3,15>означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А= <х:0≤х≤2>означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.
Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так А Ì В («А включено в В») или В É А («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если А Ì В и В Ì А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ=<х:хєА или хєВ>.
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В=
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:
Α Þ ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;
Α Û ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;
" — означает «для любого», «для всякого»;
: — «имеет место», «такое что»;
Например:
1) запись " x Î А:α означает: «для всякого элемента х Î А имеет место предложение α»;
2) (х єA U В) (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.
13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:
N= <1; 2; 3; . ; n; . >— множество натуральных чисел;
Zo= <0; 1; 2; . ; n; . >— множество целых неотрицательных чисел;
Z= <0; ±1; ±2; . ; ±n; . >— множество целых чисел;
Q= — множество рациональных чисел.
R—множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
N Ì Zo Ì Z Ì Q Ì R.
Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500. ), 1/3=0,333. — рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.
Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
▼Допустим, что существует рацыональное число, представленное несократимой дробью m/n, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
(m/n) 2 =2, т. е. m 2 =2n 2 .
Отсюда следует, что m 2 (а значит, и m) — четное число, т. е. m=2k. Подставив m=2k в равенство m 2 =2n 2 , получим 4k 2 = 2n 2 , т. е. 2k 2 =n 2 ,
Отсюда следует, что число n—четное, т. е. n=2l.Но тогда дробь m/n=2k/2l сократима. Это противоречит допущению, что m/n дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2. ▲
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так,√2=1,4142356. — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать
Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.
1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a Þ 2a Þ 2аÞ а Множество R непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел aєА и bєВ выполнено неравенство a " aєA, " bєВ). Оно отделяет числа класса. A от чисел класса В.Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу хєR соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».
13.3 Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть a и b—дейсвительнее числа,причем a а>;
(-∞, ∞) = <х : -∞ 0, называется ε-окрестностью точки хо. Число хо называется центром.
Множества чисел
Зачем вообще нужно определение разных множеств чисел? Ведь было бы куда проще просто взять число и начать выполнять какие-либо действия. Но все не так просто.
Вы наверняка уже сталкивались со сложностью вычисления дробей? Сложение, умножение, деление и вычитания – все действия с дробями отличаются от действий с привычными нам натуральными числами, ведь они относятся другому подмножеству.
То же касается, к примеру, отрицательных чисел. Складывать их с положительными можно, но только по отдельным правилам. Поэтому в вопросе множеств чисел нужно разбираться с самого начала.
Все существующие числа можно разделить на действительные и комплексные. Комплексные числа в школьном курсе не изучаются. В этом подмножестве можно извлечь корень из -1, это единственное, что в 6 классе нужно знать о комплексных числах. А знать это нужно, чтобы понимать: если у уравнения нет решений, то, скорее всего, его нет только среди действительных чисел. А вот среди комплексных это решение может и найтись.
Действительным числами зовутся любые:
- Положительные числа: целые и дробные.
- Отрицательные числа: целые и дробные.
- Число ноль.
Это именно те числа, которые мы используем для наиболее распространенных математических действий. Примеры действительных чисел: 5; 5,13; $sqrt<13>$.
Иррациональные числа так же входят в сообщество действительных чисел.
Подмножества чисел
Действительные числа состоят из подмножеств, каждое из которых следует рассмотреть отдельно:
- Натуральные числа. Натуральные числа были так названы еще древними греками. Натуральные или природные – это первые числа, которые придумало человечество. Их до сих пор используют для счета на рынке или в магазине. Там, где не нужны сложные и долгие вычисления: для простого счета используется именно эта категория чисел.
- Целые числа. Сюда входят помимо натуральных, еще и число ноль и отрицательные числа, но только целые. Дроби в эту категорию не входят.
- Рациональные числа. Сюда входят все целые и натуральные числа, а так же любые дроби.
- Иррациональные числа. Это подмножество не пересекается с рациональными числами, но так же относится к действительным числам.
Обратите внимание, что число 0 для счета не используется, то есть оно не относится к натуральным числам. Само число 0 было изобретено гораздо позднее натуральных чисел, в Индии. Это открытие считается одним из величайших событий в математике.
Также нельзя забывать, что рациональные и иррациональные числа хоть и относятся к действительным, но подчиняются разным правилам счета. Это нужно учитывать при решении уравнений и примеров.
Что мы узнали?
Мы поговорили о множествах чисел. Выяснили, что числа делятся на действительные числа и комплексные числа. Действительные числа в свою очередь подразделяются на рациональные и иррациональные. Мы поговорили о разнице в действиях с рациональными и иррациональными числами. Проговорили все подмножества иррациональных чисел.